Równanie różniczkowe Poissona Przemiana adiabatyczna

Równanie Poissona dla przemiany adiabatycznej

Wyprowadzimy teraz równanie opisujące przemianę adiabatyczną, tzw. równanie Poissona.
W przemianie adiabatycznej nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem. Oznacza to, że \( dQ = 0 \) i pierwsza zasada termodynamiki przyjmuje postać \( {{dU}+{pdV}=0} \). Równanie to możemy przepisać w postaci

(1)

\( {c_{{v}}{dT}+{pdV}=0} \)

Różniczkując równanie stanu gazu doskonałego \( pV = nRT \), otrzymujemy (dla jednego mola gazu)

(2)

\( {{pdV}+{Vdp}={RdT}} \)

Łącząc oba powyższe równania (eliminując \( dT \)), otrzymujemy

(3)

\( {c_{{v}}\left(\frac{{pdV}}{R}+\frac{{Vdp}}{R}\right)+{pdV}=0} \)

lub

(4)

\( {\left(\frac{c_{{v}}+R}{R}\right){pdV}+\frac{c_{{v}}V}{R}{dp}=0} \)

Podstawiając \( {c_{{p}}=c_{{v}}+R} \), otrzymujemy

(5)

\( {\kappa \frac{{dV}}{V}+\frac{{dp}}{p}=0} \)

gdzie \( {\kappa =c_{{p}}/c_{{v}}} \). Możemy teraz scałkować to równanie

(6)

\( {\kappa \int {\frac{{dV}}{V}+\int {\frac{{dp}}{p}=0}}} \)

Skąd \( {\kappa \ln V+\ln p=\text{const}\text{.}} \) (stała całkowania)

Zapisując inaczej, otrzymany wynik

(7)

\( {\ln (pV^{\kappa})=\text{const}\text{.}} \)

lub

(8)

\( {{pV}^{{\kappa }}=\text{const}} \)

otrzymujemy poszukiwane równanie Poissona dla przemiany adiabatycznej.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Równanie Poissona dla przemiany adiabatycznej